Теория хаоса

Теория хаоса

Содержание

Изучение комплексных и динамических систем для выявления закономерностей порядка (нехаоса) из очевидных хаотичных явлений. Объяснение Chaos Theory (Теория хаоса) Lorenz (’60) и Poincaré. (ca 1900)

Что такое Chaos Theory (Теория хаоса) ? Описание

Методом Chaos Theory (Теория хаоса) от Lorenz и Poincaré будет методика можно использовать для систем изучать сложных и динамических для того чтобы показать закономерности порядка (нехаоса) из по-видимому хаотичных поведений.

«Chaos Theory (Теория хаоса) — Качественное изучение неустойчивого апериодического поведения в детерминистических нелинейных динамичных системах» (Kellert, 1993, P. 2). Апериодическое поведение наблюдается, когда нет ни одной переменной, описывающей состояние системы, которое испытывает регулярное повторение значений. Неустойчивое апериодическое поведение очень сложно: оно никогда не повторяется и проявляет эффект любого небольшого возмущения.

Согласно сегодняшней математической теории хаотичная система характеризуется «чувствительностью к начальным условиям». Другими словами, для того чтобы предсказать будущее состояние системы с определенностью, вам необходимо знать начальные условия с огромной точностью, в виду того что ошибки увеличиваются быстро из-за даже самой небольшой неточности.

Поэтому погоду настолько трудно прогнозировать. Теория также применялась к экономическим циклам, динамике животных популяций, в движении текучей среды, области планетарных орбит, электрического тока в полупроводниках, медицинских состояний (например, эпилептический припадок) и моделировании гонки вооружений.

Во 1960-х Edward Lorenz, метеоролог из MIT, работал над проектом по имитации закономерностей погоды на компьютере. Он случайно столкнулся с Эффектом бабочки (butterfly effect) после того, как отклонения в вычислениях на тысячные доли в значительной степени меняли процесс имитации. Эффект бабочки показывает, как изменения небольшого маштаба могут оказывать влияние на вещи большого масштаба. Это классический пример хаоса, где небольшие изменения могут повлечь большие изменения. Бабочка, хлопая своими крыльями в Гон Конге, может изменить закономерности торнадо в Техасе.

Chaos Theory (Теория хаоса) рассматривает организации/бизнес группы как сложные, динамические, нелинейные, созидательные и далекие от состояния равновесия системы. Их будущие результаты нельзя предсказать на основе прошлых и текущих событий и действий. В состоянии хаоса, организации одновременно ведут себя непредсказуемо (хаотично) и систематично (упорядоченно).

Происхождение Теории хаоса. История

Ilya Prigogine, лауреат Нобелевской премии, показал, что сложные структуры могут происходить от более простых. Это как порядок исходящий из хаоса. Henry Adams ранее описал данное явление цитатой «Chaos often breeds life, when order breeds habit». Однако Henri Poincaré был настоящим «отцом-основателем теории хаоса» . Планета Нептун была открыта в 1846 и была предсказана на основе наблюдений отклонений в орбите Урана. Король Норвегии Oscar II был готов дать награду любому, кто бы смог доказать или опровергнуть то, что солнечная система устойчива. Poincaré предложил свое решение, но когда его друг нашел ошибку в его вычислениях, награду отобрали до тех пор, пока он не смог придумать новое решение. Poincaré пришел к выводу, что решения не было. Даже законы Isaac Newton не помогали в решении этой огромной проблемы. Poincaré пытался найти порядок в системе, где его не было. Теория хаоса была сформулирована в 1960-х. Значительная и более практическая работа была проделана Edward Lorenz в 1960-х. Название хаос было придуманно Jim Yorke, ученым в области прикладной математики в университете Maryland (Ruelle, 1991).

Вычисление Chaos Theory (Теория хаоса)? Формула

В применении Теории хаоса, одиночная переменная x (n) = x (t0 + nt) с начальным временем, t0, и временем задержки, t, обеспечивает n-мерное пространство, или фазовое пространство, которое представляет собой все многомерное пространство состояния системы; может потребоваться до 4 измерений для того, чтобы представить фазовое пространство хаотичной системы. Таким образом, в течение длительного периода времени, анализируемая система выработает закономерности в рамках нелинейного временного ряда, что можно использовать для предсказания будущих состояний (Solomatine et al, 2001).

Применение Теории хаоса. Формы применения

Принципы Теории хаоса были успешно использованы для описания и объяснения разнообразных естественных и искусственных явлений. Such as:

    Предсказание эпилептических припадков. Предсказание финансовых рынков. Моделирование систем производства. Прогнозы погоды. Создание фракталов. Сгенерированные компьютером изображения с использованием принципов Chaos Theory (Теория хаоса) . (См. на этой странице.)

В условиях, когда Бизнес работает в неустойчивой, сложной и непредсказуемой среде, принципы Теории хаоса могут быть весьма ценны. Области применения могут включать:

    Бизнес стратегия/Корпоративная стратегия. Сложный процесс принятия решений. Социальные науки. Организационное поведение и организационное изменение. Сравните: Causal Model of Organizational Performance and Change (Причинно-следственная модель организационной деятельности и изменения) Поведение на фондовой биржи, инвестирование.

Стадии в Теории хаоса. Процесс

Для того, чтобы контролировать хаос, необходимо контролировать систему или процесс хаоса. Для контролирования системы, необходимы:

Цель, задача, которые система должна достигнуть и выполнить. Для системы с предсказуемым поведением (детерминистическим) это может быть определенное состояние системы. Система способная достигать цель или выполнять поставленные задачи. Некоторое способы оказания влияния на поведение системы. Включают Параметры контроля/control inputs (решения, правила принятия решений или начальные состояния).

Преимущества Теории хаоса. Преимущества

Теория хаоса имеет широкое применение в современном науке и технике. Коммуникация и менеджмент могут стать свидетелями смещения парадигмы, как и некоторые другие области бизнеса. Исследования и изучение этой области в академической среде могут быть весьма полезны для бизнеса и финансового мира.

Ограничения Теории хаоса. Недостатки

Ограничения применения Теории хаоса связаны, главным образом, с выбором вводных параметров. Методы, выбранные для вычисления этих параметров зависят от динамики, лежащей в основе данных и вида анализа, которая в большинстве случаев очень сложна и не всегда точна.

Непросто найти непосредственное и прямое применение теории хаоса в деловой среде, однако определенно стоит применять анализ деловой среды с использованием знаний о хаосе.

Предположения Теории хаоса). Условия

    Небольшие действия приводят к достаточно большим последствиям, создавая хаотичную атмосферу.

>
Теория хаоса

Теория Хаоса, аттрактор, фрактал и рынок

Теория Хаоса с середины 80-х годов ХХ столетия является одной из самых популярных теорий, применяемых трейдерами в прогнозировании рыночных движений, которые изучает технический анализ. Т.е., для многих трейдеров этот подход стал основополагающим на рынке Форекс.

При этом, до сих пор не существует четкого математической формулировки понятия «хаоса». В этой связи некоторые исследователи теории нередко формулируют хаос как крайнюю непредсказуемость постоянного нелинейного и нерегулярного сложного движения, которое возникает в динамической системе.

Однако, хаос не случаен. Подтверждением тому могут служить некоторые аспекты астрономии, астрологии и религиозных течений, которые мы не станем затрагивать в нашем тексте. И, более того, несмотря на кажущуюся непредсказуемость, он динамически детерминирован (т.е. определен) и не выходит за рамки четких закономерностей. И, хотя на первый взгляд, непредсказуемость

хаоса граничит со случайностью – это обманчивое впечатление. Согласно Теории Хаоса, когда речь заходит о хаотичном движении цен, то имеется в виду не их случайное движение, а упорядоченное определенным способом движение. И, если динамика рынка и хаотична, это не говорит о ее случайности. Т.е., случайность и непредсказуемость – понятия не однозначные, и это важно понимать.

Непредсказуемость хаоса, как правило, объясняется существенной зависимостью от начальных условий. Такая зависимость указывает на то, что даже самые незначительные просчеты в определении параметров изучаемого объекта могут привести к абсолютно неверному прогнозу. Такие ошибки могут возникнуть в результате незнания или непонимания изначально предлагаемых условий. Неважные на первый взгляд моменты, которым трейдер может по неопытности или лени не придать значения, дадут неверно поставленную задачу, и, как следствие, приведут к неправильному прогнозу. Например, касательно невозможности делать правильные долгосрочные прогнозы погоды существенную зависимость от начальных условий называют «эффектом бабочки». «Эффект бабочки» указывает на существование вероятности того, что взмах крыла бабочки в Бразилии приведет к появлению торнадо в Техасе.

Также отметим, что факторы воздействия могут быть экзогенные (внешние), и эндогенные (внутренние). В качестве характерного примера хаотичного движения и влияния экзогенных и эндогенных факторов можно привести движение бильярдного шара. Кто хоть раз играл в бильярд, прекрасно знает, насколько на конечный результат – попадание шара в лузу – влияет направление удара кием, сила удара, расположение шара относительно других шаров и некоторые другие вводные данные. Малейший просчет в одном из этих факторов приведет к абсолютно непредсказуемой траектории движения шара по столу. Однако, даже при всех правильных действиях игрока движение шара может стать непредсказуемым на одном из этапов движения: после соприкосновения с бортом стола, другими шарами, лузой.

Исходя из вышесказанного можно утверждать, что будущее предсказать невозможно, так как всегда существуют изначальные ошибки измерения, порожденные в том числе незнанием всех факторов и условий. Как итог: мелкие недочеты и/или ошибки порождают крупные последствия, которые, как правило, развиваются лавинообразно, или в геометрической прогрессии.

Существует утверждение, что Хаос — более высокая форма порядка. Однако, более правильно считать Хаос другой формой порядка: с неизбежностью в любой динамической системе за порядком в обычном его понимании следует хаос, а за хаосом — порядок. И, если определять Хаос как беспорядок, то внутри него формируется своя, особенную форму порядка. К примеру, дым от сигарет, поднимающийся сначала в виде упорядоченного столба далее под влиянием внешней среды принимает все более причудливые очертания, а его движения становятся хаотичными. Другой пример хаотичности в природе — лист дерева или рисунок кожи пальца человека: ученые доказали, что абсолютной идентичности не бывает НИКОГДА.

Движение от порядка к Хаосу и обратно является сущностью Вселенной, какие бы проявления ее мы не рассматривали. Даже в мозгу человека одновременно присутствует упорядоченное и хаотическое начала. Первое соответствует левому полушарию мозга, а второе — правому. Левое полушарие отвечает сознательное поведение человека, за выработку линейных правил и стратегий в поведении человека, где четко определяется «если…, то…». В правом же полушарии царит нелинейность и хаотичность. Интуиция является одним из проявлений правого полушария мозга. Не зря древняя китайская мудрость гласит, что мысли человека подобны обезьянам, прыгающим с ветки на ветку.

Теория Хаоса изучает порядок хаотичной системы, которая выглядит случайной, беспорядочной. При этом Теория Хаоса дает возможность построить модель такой системы, не ставя задачу точного прогнозирования поведения хаотичнойой системы в будущем.

Теория Хаоса начала зарождаться еще в XIX веке, однако действительное научное развитие она получила во второй половине XX века, вместе с работами Эдварда Лоренца (Edward Lorenz) из Массачусетского технологического института и франко-американского математика Бенуа Б. Мандельброта (Benoit B. Mandelbrot).

Эдвард Лоренц в свое время (начало 60-х годов XX века, работа опубликована в 1963 году) рассматривал причины трудности прогнозирования погоды. Заметим, что до появления работы Лоренца в научной среде господствовало два мнения относительно возможности точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок.

Первый подход был сформулирован в 1776 году французским математиком Пьером Симоном Лапласом. Он утверждал, что «…если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем». Направление его мыслей повторяли знаменитое изречение Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир». Таким образом, Лаплас и приверженцы его теории говорили, что для точного прогнозирования погоды необходимо только собрать больше информации обо всех частицах во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.д. Лаплас считал, что чем больше человек будет иметь информации, тем точнее будет его прогноз относительно будущего.

Второй подход относительно возможности прогнозирования погоды был сформулирован другим французским математиком Жюлем Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: «Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем.

Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая».

В этом высказывании Пуанкаре и состоит постулат Теории Хаоса о зависимости от начальных условий. Последующее развитие науки, особенно квантовой механики, опровергло детерминизм теории Лапласа. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл и сформулировал принцип неопределенности. Этот принцип объясняет, почему некоторые случайные явления не подчиняются детерминизму Лапласа. Гейзенберг показал принцип неопределенности на примере радиоактивного распада ядра. Так, из-за очень малых размеров ядра невозможно знать все процессы, происходящие внутри него. Поэтому, сколько бы информации мы не собирали о ядре, точно предсказать, когда это ядро распадется — невозможно.

Таким образом, мы подошли вплотную к самой Теории Хаоса, изучение которой основано на таких инструментах, как аттракторы и фракталы.

Аттрактор

Аттрактор (англ. to attract — притягивать) — геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени.

Аттрактор Лоренца рассчитан на основе всего трех степеней свободы — три обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы и три начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система Лоренца ведет себя псевдослучайным (хаотичным) образом.

Смоделировав свою систему на компьютере, Лоренц выявил причину ее хаотического поведения — разницу в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к экспоненциальному накоплению ошибок и соответственно их стохастическому расхождению.

Наряду с этим, любой аттрактор имеет определенные размеры границ, поэтому экспоненциальная расходимость двух траекторий разных систем не может продолжаться бесконечно. Рано или поздно орбиты вновь сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее и маловероятно. Кстати, совпадение траекторий является правилом поведения простых предсказуемых аттракторов.

Сходимость-расходимость (или складывание и вытягивание соответственно) хаотичного аттрактора систематически устраняет начальную информацию и заменяет ее новой. При схождении траектории сближаются и начинает проявляться эффект близорукости — возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении траекторий наоборот, они расходятся и проявляется эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной информации (этот подход применил в своей Теории Пассионарности Л. Н. Гумилев, назвав такие явления «оберрацией близости» и «оберрацией дальности»).

В результате постоянной сходимости-расходимости хаотичного аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности делать точные прогнозы. То, чем так гордится наука — способностью устанавливать связи между причинами и следствиями — в хаотичных системах невозможно. Причинно-следственной связи между прошлым и будущем в Хаосе не существует.

Также надо отметить, что скорость схождения-расхождения является мерой Хаоса, т.е. численным выражением хаотичности самой системы. Другой статистической мерой Хаоса служит размерность аттрактора.

Подводя промежуточный итог, заметим, что основным свойством хаотичных аттракторов является сходимость-расходимость траекторий разных систем, которые случайным образом постепенно и бесконечно перемешиваются.

На этом этапе поговорим о пересечении фрактальной геометрии и Теории Хаоса. А парадокс заключен в том, что хотя фрактал и является одним из инструментов Теории Хаоса, по сути он — противоположность Хаоса.

Главное различие между Хаосом и Фракталом состоит в том, что первый является динамическим явлением, а второй — статическим. Под динамическим свойством Хаоса понимается непостоянное и непериодическое изменение траекторий.

Фрактал

Фрактал — это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова. Отсюда проявляется одно из свойств фрактала — самоподобие.

Другое свойство фрактала — дробность. Дробность фрактала является математическим отражением меры неправильности фрактала.

Фактически все, что кажется случайным и неправильным, может быть фракталом (очертания океанов и морей, облака, деревья, биение сердца, популяции и миграции животных, дым от костра или языки пламени).

В итоге, Теория Хаоса предполагает три основных принципа для изучения рынка:

Все в мире следует путем наименьшего сопротивления. Рынок подобен реке, выбирающей свое русло.

Путь наименьшего сопротивления определяется структурой, которая всегда обусловлена причинами и обычно не видна. Если русло реки глубоко и широко, течение медленное, если неглубокое и узкое — на реке образовываются буруны и стремнины. Поведение течения можно предсказать путем исследования русла реки.

Основная и обычно невидимая структура всегда может быть определена и изменена. Структура определяет поведение. Вы можете изменить поток вашей жизни и вашей торговли, распознавая основную структуру вашей торговли.

<<< В НАЧАЛО

Теория Хаоса — Хаотические естественные системы это Высшая форма порядка

Хаотические (естественные) системы вовсе не так привлекательны: они подчиняются законам нелинейной динамики. Эти явления, или феномены, подтверждаются наличием сложных петель обратной связи, в циклических системах, непериодичность возникновения которых прогнозированию не поддается! Например, если столкнуть два колеблющиеся маятника, то их движения могут стать «дико» беспорядочными. Подобным образом возникают буруны, когда отхлынув от берега, волна встречает сопротивление прилива и «разрушается». Размер волны в различной степени увеличивается или уменьшается.

В человеческом мозгу электрический импульс одного нейрона, столь же непредсказуемым образом усиливается и затухает, под влиянием нервных импульсов связанных нейронов.

Поскольку общество людей, является живой системой, определенные «толчки» (экономические и политические события, заявления правительств, погодные явления, новости…) могут запустить любую очевидно хаотическую систему в новом направлении, которое невозможно качественно осмыслить, с использованием линейных Ньютоновских инструментов.

Кажется, что такие отклонения создают полностью хаотический мир. Но несмотря на тревогу ученых, этот неуправляемый, хаотический беспорядок не увеличивается. Система беспорядочно колеблется в пределах, специфического диапазона, или нормы!

Это Факт меняет сложившееся представление о Хаосе. Так называемый «ужасающий беспорядок», когда-то «устраненный» классической физикой, на самом деле является высшей формой порядка.

Теория Хаоса — Теория Хаоса дает возможность осознать Реальность

Теория Хаоса дает возможность осознать очень важную вещь! Наши представления о том, что происходит, в соответствии с которым мы делаем все, что делаем, отличаются от объективной Реальности. Мы воспринимаем окружающий Мир, исходя из наших Представлений о нем.

Поняв и приняв этот подход Вы освободитесь от «психологического давления» связанного с происходящим в Мире, от постоянного напряжения, истощающего Ваши нервные клетки. Вы сможете сосредоточится на правильных вещах, не растрачивая энергию и здоровье на ненужные переживания. Результат от этого превзойдет все Ваши ожидания.

Источником ваших представлений, как и любой мыслительной деятельности, является Мозг, и «картину мира» каждого из нас можно привести в состояние гармонии с самим Миром.

Пол Рапп, крупный специалист в изучении деятельности головного мозга человека, сказал: «Если существует волшебный ключ, открывающий тайны нервного функционирования — некая Чаша Святого Грааля, теория Хаоса поможет его найти!»

Эффект от поведения, исходящего от ошибочного представления реальности такой же, как если бы вы пытались найти какую-то улицу в Москве, используя карту Санкт-Петербурга. Так влияет на нашу Жизнь неправильная логическая карта, или Культура мышления.

Ваша культура мышления воздействует на все, что вы делаете — ваша речь, ваше мышление, ваше поведение, а также определяет что вы едите, как спите и т.д. Ваше восприятие всех ваших действий зависит от культуры вашего мышления.

Кто был основателем и руководителем самой большой школы советских физиков в начале XX в.?
А. Ф. Иоффе
Как формулируется третий закон Ньютона?
силы взаимодействия тел равны по величине и противоположны по направлению F (АВ) = -F(ВА), где АВ — тела, F(AB) — сила, с которой А действует на В, и -F(BA) — сила, с которой тело В действует на тело А
Какое состояние термодинамических систем имеет место, когда термодинамические параметры имеют одинаковое значение для всех элементов системы?
равновесное состояние
Как называется научно поставленный опыт, наблюдение исследуемого явления в точно учитываемых условиях, позволяющих следить за ходом явления и многократно воспроизводить его при повторении этих условий?
Эксперимент
Кем в эпоху Возрождения была создана гелиоцентрическая система мира?
Н. Коперником
Какой античный философ считал, что мир, Вселенная, имеет форму шара с конечным радиусом, поверхностью шара является сфера (поэтому Вселенная состоит из вложенных друг в друга сфер), а центром мира является Земля?
Аристотель
Какое понятие, введенное Клаузиусом для уточнения физического содержания второго закона термодинамики, выражало меру неупорядоченности изолированной термодинамической системы, т. е. переход подобной системы со временем к состоянию хаотического движения составляющих ее элементов?
Энтропия
Как называется физическое состояние, при котором среднее значение энергии всех составлявших его физических полей равно нулю?
истинный вакуум
Согласно какому постулату Н. Бора в атоме разрешено стационарное состояние, при котором электрон может находиться на определенной орбите (энергетическом уровне) и не излучать энергии?
согласно первому постулату (постулату стационарного состояния атома)
Какого принципа квантовой механики не существует?
принципа относительности А. Эйнштейна
Какое определение не имеет отношения к понятию детерминизма?
способность вещества превращаться в другие вещества
Какой из принципов, на которых основывается общая теория относительности (ОТО), утверждает, что законы физики должны иметь один и тот же вид не только в инерциальных системах, но и в неинерциальных системах отсчета, т. е. инерциальные системы отсчета не должны рассматриваться как привилегированные системы отсчета, как это делала классическая механика?
принцип относительности
В геометрии какого ученого используется понятие тензора?
в геометрии Б. Римана
Какие силы физического взаимодействия придают целостность и устойчивость частицам, участвующим в сильном взаимодействии в ядре атома (протоны, нейтроны и некоторые другие)?
глюонные силы
Что такое ферромагниты?
вещества, которые при их намагничивании во внешнем магнитном поле усиливают данное магнитное поле
Что является минимальной порцией электромагнитной энергии?
Фотон
Какой великий русский ученый открыл закон сохранения вещества (на 17 лет раньше французского химика Лавуазье), разработал методы точного взвешивания, первым высказал мысль о наличии атмосферы на Венере, точно и ясно выразил гипотезу о кинетической природе тепла?
М. В. Ломоносов
Что не является целью естествознания?
открывать путь к экстенсивному развитию познания, к его распространению на новые сферы реальности
Какой закон Кеплера сформулирован неверно?
все планеты обращаются по эллиптическим орбитам, в фокусе которых находится Луна
Какой французский ученый в 1785 г. сформулировал закон взаимодействия между магнитными массами?
Ш. Кулон
В основе какой теории относительности лежат следующие постулаты 1) все физические законы должны выглядеть одинаковыми во всех инерциальных системах отсчета; 2) скорость света в вакууме не изменяется при изменении состояния движения источника света?
в основе специальной теории относительности (СТО)
Какой выдающийся русский ученый-физиолог доказал, что в основе психических явлений лежат физиологические процессы, и первым высказал идею о рефлекторном характере произвольных движений, управляемых головным мозгом?
И. М. Сеченов
Какой принцип Галилея заключается в следующем если на тело не действуют никакие силы, то оно покоится или движется равномерно и прямолинейно?
принцип инерции
Какая из перечисленных формулировок не имеет отношения к закону сохранения энергии?
теплота не может самопроизвольно переходить от менее нагретого тела к более нагретому телу
Как называется наука о поведении высокоорганизованных животных и их сообществ?
Этология
Какой общенаучный метод применяется как на эмпирическом, так и на теоретическом уровне?
Моделирование
Как называется мысленное отвлечение от каких-то менее существенных свойств, сторон, признаков изучаемого объекта с одновременным выделением, формированием одной или нескольких существенных сторон, свойств, признаков этого объекта?
Абстрагирование
Какой общенаучный метод эмпирического познания позволяет изучать объект в «очищенном» виде, т. е. устранять всякого рода побочные факторы?
Эксперимент
Какой вид моделирования широко используется для разработки и экспериментального изучения различных сооружений (плотин электростанций, оросительных систем и т. п.), машин (аэродинамические качества самолетов), для лучшего понимания каких-то природных процессов и т. д.?
физическое моделирование
Как называется подобие, сходство каких-то свойств, признаков или отношений у различных в целом объектов?
Аналогия
Как называется мысленное внесение определенных изменений в изучаемый объект в соответствии с целями исследований?
Идеализация
Кто является родоначальником классического индуктивного метода познания?
Френсис Бэкон
Что такое формализация?
особый подход в научном познании, который заключается в использовании специальной символики, позволяющей отвлечься от изучения реальных объектов, от содержания описывающих их теоретических положений и оперировать вместо этого некоторым множеством символов (знаков)
Как называется учение о наиболее общих закономерностях становления и развития всех явлений природы, общества и мышления?
Диалектика
Какое моделирование связано с условно-знаковым представлением каких-то свойств, отношений объекта-оригинала (в виде графиков, номограмм, схем; химической символики ¾ структурных формул химических соединений)?
символическое (знаковое) моделирование
Что понимается под анализом?
разделение объекта (мысленно или реально) на составные части с целью их отдельного изучения
Чем характеризуется эмпирический уровень научного познания?
исследованием реально существующих, чувственно воспринимаемых объектов
Как называется процесс, заключающийся в определении количественных значений тех или иных свойств, сторон изучаемого объекта, явления с помощью специальных технических устройств?
Измерение
К какой группе методов относятся диалектический и метафизический методы?
ко всеобщим методам
Как называется метод познания, ясно выявляющийся на формально-логическом умозаключении, которое приводит к получению общего вывода на основании частных посылок?
Индукция
Какая абстракция получается путем выделения некоторых свойств, отношений, связанных с предметами материального мира в самостоятельные сущности («электропроводность», «растворимость»)?
изолирующая абстракция
Кто является создателем систематической теории диалектики?
Георг Гегель
Как принято классифицировать методы научного познания по широте применимости в процессе научного исследования?
на всеобщие, общенаучные и частнонаучные методы
Что такое метод?
совокупность приемов и операций практического и теоретического освоения действительности
Результатом какого познания становятся гипотезы, теории, законы?
теоретического познания
Как называется чувственное отражение предметов и явлений внешнего мира?
Наблюдение
Что называется получением частных выводов на основе знания каких-то общих положений?
Дедукция
Какие наблюдения обязательно основываются на некоторых теоретических положениях, устанавливая определенную связь между наблюдаемым явлением и наблюдателем, например, в виде математического выражения функциональной зависимости?
косвенные наблюдения
Как классифицируются эксперименты в зависимости от области научного знания?
на естественно-научные, прикладные и социально-экономические
Как классифицируются эксперименты в зависимости от характера проблем, решаемых в их процессе?
на исследовательские и проверочные
Что такое взаимодействие в широком смысле?
категория, отражающая процессы воздействия объектов друг на друга, их взаимную обусловленность и порождение одним объектом другого
В основе чего не лежит принцип симметрии?
в основе электромагнитного взаимодействия
Какой ученый впервые сформулировал принцип дополнительности?
Нильс Бор
Согласно теореме, доказанной Э. Нетер, существование любой конкретной симметрии приводит к соответствующему закону сохранения. Какой закон сохранения следует из инвариантности (неизменности, независимости) относительно сдвига во времени (сдвиговая симметрия)?
закон сохранения энергии
Какой ученый впервые сформулировал принцип неопределенности в виде соотношения неточностей (неопределенностей) при определении сопряженных величин в квантовой механике?
В. Гейзенберг
Какое взаимодействие порождает притяжение между одинаковыми частицами?
гравитационное взаимодействие
Какая величина в механике Галилея — Ньютона является относительной?
Скорость
Какой из перечисленных принципов отражает двойственную корпускулярно-волновую природу элементарных частиц и теоретико-вероятностное, статистическое описание их взаимодействий?
принцип неопределенности
Как формулируется принцип относительности в специальной теории относительности Эйнштейна?
не только механические, но и все физические процессы в инерциальных системах протекают одинаково
С каким принципом связан принцип относительности в теории относительности?
с принципом постоянства скорости света в вакууме, ее независимости от скорости движения источника света (или наблюдателя)
Какого типа взаимодействия в естествознании не существует?
Космического
Чем является свет, согласно выводам Максвелла, подтвержденным лабораторными опытами?
волной электромагнитного поля
Как называется объективная и универсальная форма движения, развития, которая определяет существование и структурную организацию любой материальной системы?
Взаимодействие
Как иначе называют теорию относительности?
релятивистской теорией
Какой из перечисленных принципов справедлив для систем и полей, описываемых линейными уравнениями, очень важен в механике, теории колебаний и волновой теории физических полей?
принцип суперпозиции
В чем состоит смысл принципа относительности Галилея?
все механические процессы в инерциальных системах протекают одинаково
Что из перечисленного является наиболее наглядным и часто приводимым примером симметрии?
Снежинка
Путем обмена какими частицами осуществляется электромагнитное взаимодействие?
Фотонами
Как описывает симметрию математика?
при помощи теории групп
Какой принцип определяет результирующий эффект от наложения нескольких независимых воздействий как сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности?
принцип суперпозиции
Согласно какому принципу при экспериментальном исследовании микрообъекта могут быть получены точные данные либо о его энергиях и импульсах, либо о поведении в пространстве и времени?
согласно принципу дополнительности
Кто выдвинул самую смелую идею симметрии, заключающуюся в том, что скорость света должна быть одинаковой для всех наблюдателей независимо от того, с какой скоростью они движутся?
А. Эйнштейн
Кто из ученых внес значительный вклад в разработку теории групп, при помощи которой математика описывает симметрию?
Эмми Нетер
В чем состоит суть принципа неопределенности?
характеризующие физическую систему так называемые дополнительные физические величины (например, координата и импульс) не могут одновременно принимать точные значения
Какое взаимодействие является самым слабым?
гравитационное
Как называется крупномасштабная структура во Вселенной, состоящая из межзвездной диффузной среды и большого количеств звезд, находящихся в гравитационном взаимодействии между собой и межзвездной средой?
Галактика
Кто является основоположником современных представлений о «сфере жизни»?
В. И. Вернадский
Что относят к основному по массе загрязнителю атмосферы?
СО2
Какой факт, согласно теории Дарвина — Уоллеса, сформулирован неверно?
число особей в каждой данной популяции непостоянно
Что такое клонирование?
система генно-инженерных методов для получения и размножения отдельных фрагментов ДНК или всей ДНК
Как называется биосинтез белков на основе считывания генетической информации, записанной в виде последовательности нуклеотидов в молекулах информационных или матричных РНК?
Трансляция
На какие типы подразделяются химические реакции по признаку изменения числа исходных и конечных веществ?
на химические реакции соединения, разложения, замещения и обмена
Как называются переменные звезды?
Цефеиды
Какое направление биоэкологии исследует индивидуальные связи отдельного организма со средой?
Аутэкология
В основе какой концепции происхождения жизни на Земле лежит гипотеза, получившая название абиогенеза, в которой утверждается возможность возникновения жизни из неживого вещества?
в основе концепции самопроизвольного зарождения жизни на Земле
Кто из ученых ввел понятие молекулы?
Дж. Дальтон
Как называется область живого вещества, жизни на нашей планете?
Биосфера
В чем заключается основное правило заполнения электронных оболочек, сформулированное в 1925 г. швейцарским физиком Вольфгангом Паули?
в одном и том же атоме не может быть двух электронов, находящихся в одинаковых квантовых состояниях
О каком типе химической связи идет речь, если пара электронов находится в общем владении двух атомов?
о ковалентной связи
Что такое мониторинг окружающей среды?
регулярные, выполняемые по заданной программе наблюдения природных сред, природных ресурсов, растительности и животного мира, позволяющие выделить их состояние и происходящие в них процессы под влиянием антропогенной деятельности
Как называется территория с присущими ей абиотическими факторами, занятая определенным биоценозом?
Биотоп
Какой теории возникновения жизни не существовало?
Натурфилософии
Какое название получила теория органической эволюции путем естественного отбора признаков, детерминированных генетически?
Неодарвинизм
Какое название получило существо, скелетные останки которого обнаружили в 1962 г. английские ученые М. Ликки и Л. Ликки в вулканическом ущелье Олдувай (или Олдовай) в Центральной Африке (Танзании)?
Австралопитек
Что такое мейоз?
клеточное деление, которое ведет к образованию и созреванию половых клеток
Как называются органические соединения, входящие в состав живого вещества и выполняющие в основном энергетическую функцию?
Углеводы
Согласно какой концепции происхождения жизни Земля никогда не возникала и существует вечно и всегда способна поддержать жизнь?
согласно концепции стационарного состояния
Какое из данных понятий не имеет отношения к строению Земли?
Плазма
Какие области химии называют науками будущего?
космохимию и фотохимию
Как называется программа свойств организма, получаемая от предков и заложенная в наследственных структурах в виде генетического кода?
генетическая информация

СВОЙСТВА И КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ХАОСА. 1. Устойчивость и неустойчивость. Ляпуновские показатели Наличие хаотической динамики тесно связано с. — презентация

1 СВОЙСТВА И КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ХАОСА

2 1. Устойчивость и неустойчивость. Ляпуновские показатели Наличие хаотической динамики тесно связано с неустойчивостью, присущей фазовым траекториям системы. В качестве иллюстрации рассмотрим рисунок, где показан набор большого числа наложенных друг на друга временных зависимостей одной из динамических переменных для модели Лоренца. Все они получены решением одной и той же системы уравнений, демонстрирующей хаотическую динамику, при слегка отличающихся начальных условиях. Видно, что разные реализации практически неотличимы на начальном участке, но с течением времени уходят друг от друга и картина «замазывается». Именно присутствие неустойчивости создает возможность соединить несоединимое – динамическую природу системы, т.е. предсказуемость, и хаос, т.е. непредсказуемость.

3 Понятие устойчивости и, соответственно, неустойчивости, определяется по- разному. Наиболее часто используются определения устойчивости по Пуассону, Ляпунову и асимптотической устойчивости. Устойчивость по Пуассону и возвраты Пуанкаре Устойчивость по Пуассону означает, что через некоторое время фазовая траектория возвращается в сколь угодно малую окрестность начальной точки. Интервал времени, по прошествии которого траектория возвращается в окрестность точки x 0 0 заданного радиуса, называется периодом возврата Пуанкаре.

4 Любой установившийся режим колебаний нелинейных диссипативных систем представляется траекториями, устойчивыми по Пуассону. Это относится и к динамическому хаосу, связанному с существованием странного аттрактора – режиму, который можно считать установившимся в смысле постоянства во времени его усредненных статистических характеристик. Устойчивость по Пуассону является важным, но слабым свойством устойчивости. Мы ничего не можем сказать о поведении соседних траекторий, изначально близких к начальной точке – притягиваются ли они к исходной траектории или уходят от нее. Примеры. Состояние равновесия. Ему отвечает фазовая траектория, состоящая из одной точки, и она, очевидно, устойчива по Пуассону. Рассмотрим замкнутую траекторию – предельный цикл. Возвраты Пуанкаре будут фиксироваться периодически со сколь угодно высокой точностью. Время возврата T есть просто период цикла и оно не зависит от выбора, по крайней мере, когда становится достаточно малым.

5 Предположим, что для любого заданного можно указать период возврата T( ), один и тот же для любой точки старта на данной траектории, причем при 0 этот период стремится к бесконечности. Иными словами, возвраты с данной степенью точности следуют друг за другом регулярно, с правильной периодичностью, но период увеличивается, если мы ходим увеличить точность сравнения состояний. Такие движения называют квазипериодическими. В фазовом пространстве этому типу динамики отвечает траектория, плотно покрывающая поверхность тора. Динамический хаос – это такая ситуация, когда возвраты Пуанкаре в -окрестность стартовой точки не проявляют регулярности, интервал времени между двумя последовательными возвратами оказывается каждый раз другим и возникает некоторое статистическое распределение времен возврата.

6 Устойчивость по Ляпунову Устойчивость по Пуассону касалась свойств одной, отдельно взятой траектории. Понятие устойчивости по Ляпунову характеризует траекторию с точки зрения поведения соседних траекторий, располагающихся в ее окрестности. Две близкие на старте траектории остаются близкими всегда. Малое начальное возмущение устойчивых по Ляпунову фазовых траекторий не возрастает с течением времени.

7 Для каждой траектории динамической системы x(t) определен набор (спектр) ляпуновских показателей 1, 2, …, N, который дает уравнение в вариациях для эволюции малого возмущения в линейном приближении Для решения уравнения в вариациях справедлива теорема Ляпунова. 1)Для любого решения уравнения в вариациях существует ляпуновский характеристический показатель – вещественное число, отличное от, определяемое как верхний предел, 2)При умножении решения на константу ляпуновский показатель не меняется,

8 Присутствие в спектре показателя означает, что существует такое возмущение исходной траектории, которое эволюционирует во времени как exp( t). Следовательно, наличие в спектре хотя бы одного положительного ляпуновского показателя означает неустойчивость рассматриваемой фазовой траектории. Если все показатели отрицательны, то это говорит об асимптотической устойчивости траектории. Для асимптотически устойчивой неподвижной точки все ЛХП отрицательны. Если имеется хотя бы один положительный ляпуновский показатель, то неподвижная точка неустойчива. 3) Ляпуновский показатель линейной комбинации двух решений меньше или равен большему из показателей этих двух решений, т.е. 4) Имеется N (по размерности фазового пространства) линейно независимых решений уравнения в вариациях (фундаментальная система решений), которым отвечает N ляпуновских показателей, нумеруемых в порядке убывания. Наибольшее из этих чисел называют старшим ляпуновским показателем.

9 В случае предельного цикла ляпуновский показатель дается следующим соотношением: — собственные числа матрицы монодромии или мультипликаторы цикла.

10 Ляпуновские показатели аттракторов

11 Спектр ЛХП аттрактора обязан удовлетворять следующим требованиям: 1)Сумма всех N показателей должна быть отрицательна: Это условие диссипативности, благодаря которому аттрактор является притягивающим множеством нулевой меры в фазовом пространстве, на котором концентрируется с течением времени облако изображающих точек. 2) У аттрактора, отличного от неподвижной точки, обязательно должен иметься хотя бы один нулевой показатель.

13 Зависимость величины ляпуновского показателя логистического отображения (2) от значения параметра Области левее соответствуют неположительные значения. Это отвечает областям периодических решений ( 0, что говорит о хаотической динамике. В то же время имеются провалы до отрицательных значений, которые соответствуют окнам периодичности – наличию устойчивых циклов определенных периодов.

14 Рассмотрим фазовые портреты притягивающих множеств отображения Эно (6) и бассейны их притяжения. При определенных значениях управляющих параметров отображение Эно может демонстрировать свойство мультистабильности – режим сосуществования двух притягивающих подмножеств на фазовой плоскости. Если менять начальные условия, то наблюдается чередование двух хаотических режимов. Это подтверждает расчет старшего ляпуновского показателя в зависимости от изменения начальной координаты x при фиксированном y. Максимальный показатель случайным образом «скачет» между двумя положительными значениями, свидетельствуя о переходах системы с одного хаотического аттрактора на другой. Если сравнить эти результаты с видом структуры бассейнов притяжения, то становится понятно, что изменение начальных условий приводит к пересечению границ соответствующих бассейнов.

15 Подобно логистическому отображению, в закритической области значений управляющего параметра (в области существования хаотического аттрактора) в отображении Эно также наблюдается чередующуюся картина смены регулярных и хаотических режимов – «окна периодичности». Это иллюстрирует зависимость старшего ляпуновского показателя от параметра а. На графике видно наличие как положительных, так и отрицательных значений ляпуновского показателя, что свидетельствует о нерегулярном чередовании хаотических и периодических аттракторов в системе при вариации параметра. а

16 2. Функция распределения, инвариантная мера, эргодичность и перемешивание

17 Пример 1. Эволюция набора изображающих точек, располагавшихся в начальный момент в узлах прямоугольной сетки на фазовой плоскости для ансамбля систем Ван дер Поля при = 2

18 Пример 2.

20 Функция распределения и инвариантная мера (13)

23 Результаты расчета p(x) для двух значений, соответствующих хаотическим режимам логистического отображения Плотности распределения вероятностей p(x,y) на хаотических аттракторах в системе Эно

24 Обобщение, охватывающее как гладкие, так и сингулярные распределения, достигается привлечением специальной математической конструкции, меры. Меру можно рассматривать как функцию, которая ставит в соответствие подмножеству фазового пространства некоторое неотрицательное число. Понятие меры шире, чем понятие функции распределения: любой функции распределения отвечает некоторая мера, но не всякой мере будет соответствовать «разумная» функция распределения. (14)

25 (15)

26 Свойство динамической системы, позволяющее ввести однозначно определенную инвариантную меру, называется эргодичностью. Или: Если фазовая траектория всюду плотно заполняет фазовый объем G в фазовом пространстве, движение называют эргодическим. При этом в пределе t относительное время пребывания траектории в любом конечном элементе объема G пропорционально относительному объему этого элемента: (16) t G – время пребывания траектории в элементе объема G, P G – вероятность попадания траектории в элемент объема G. Простым наглядным примером эргодического движения служит движение на двумерном торе при иррациональном соотношении базовых частот. Доступный фазовый объем G в этом случае есть просто двумерная поверхность тора, являющая аттрактором системы. Все предельные траектории лежат на этой поверхности. Эргодичность движения означает равномерное и плотное покрытие этой поверхности фазовой траекторией.

27 Если определено понятие вероятности (16), то для эргодического движения системы справедливо соотношение (17) что означает с вероятностью единица равенство усреднения по времени вдоль конкретной траектории x(t) и усреднения по вероятностной мере, определенной в фазовом пространстве с помощью теоремы (16) (т.е. усреднения по ансамблю траекторий). Условие (17) является, по сути дела, определением эргодичности ДС. Однако эргодичность слишком слабое условие ДС, чтобы использовать его как критерий хаоса.

28 Помимо статистики посещения переменной x той или иной области значений, непериодический процесс можно охарактеризовать с точки зрения свойств во временной области. Этой цели служит вычисление автокорреляционной функции. Корреляция – это статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин. При этом изменения одной или нескольких из этих величин приводит к систематическому изменению другой или других величин. Автокорреляция – это статистическая взаимосвязь между случайными величинами из одного ряда, но взятых со сдвигом, например, для случайных процессов – со сдвигом во времени.

29 Определим автокорреляционную функцию процесса x(t): (18) с учетом того, что любое периодическое ограниченное решение системы можно представить в виде ряда Фурье : получаем (19) Автокорреляционная функция периодического процесса является периодической с тем же периодом. Спектральная плотность мощности периодических автоколебаний есть фурье- преобразование от АКФ: Вид АКФ для временной реализации, порождаемой логистическим отображением (2) для = 3.56 (цикл периода 4) (21) и содержит только дискретные составляющие на гармониках основной частоты n 0. (20)

30 В случае, если решение ДС характеризует движение на странном аттракторе и, следовательно, не является периодическим, оно представимо в виде интеграла Фурье (22) где ( ) – спектральная амплитуда процесса. В предположении стационарности и эргодичности движения на странном аттракторе справедливы соотношения Винера-Хинчина (23) которые применимы к описанию случайных процессов. Случайные процессы характеризуются затуханием во времени автокорреляционной функции и непрерывным характером зависимости спектральной плотности мощности от частоты.

31 Режиму динамического хаоса (или движению на странном аттракторе) также соответствует затухающий характер зависимости от времени АКФ и сплошной спектр мощности колебаний. Именно это обстоятельство роднит хаотические автоколебания детерминированных систем по своим физическим свойствам со случайными процессами и служит для экспериментаторов одним из основных критериев перехода к хаотической динамике. Спектр регулярных аттракторов всегда дискретный. Возбуждение режима динамического хаоса сопровождается появлением ярко выраженной непрерывной компоненты в частотном спектре процесса. АКФ для логистического отображения (2) для значений параметра = 3.8 и = 4.0, соответствующих режимам хаоса АКФ аттрактора Лоренца

32 Фазовые портреты, временные реализации и спектры мощности периодических и хаотического режимов в системе ГИН

33 Перемешивание. Энтропия Колмогорова Чтобы проследить за движением изображающей точки в фазовом пространстве колебательной системы, в общем случае целесообразно исследовать эволюцию малого фазового объема, включающего начальную точку. Если предельная траектория есть устойчивое состояние равновесия или периодическое движение, то малая область сжимается в точку (линию) и подходящим является детерминированное динамическое описание. Если же предельная траектория неустойчива по Ляпунову, то малая начальная область растягивается вдоль одних направлений, сжимается по другим и в виде сильно деформированного образования заполняет исходное фазовое пространство или некоторую его часть; фазовый объем начальной области может сохраняться (консервативные системы) или уменьшаться в пределе до нуля (диссипативные системы). Этот процесс называется перемешиванием.

34 Перемешивание: эволюция облака изображающих точек, представляющего ансамбль отображений кота Арнольда

35 В ходе эволюции в системе с перемешиванием две сколь угодно близкие по начальным условиям фазовые траектории спустя определенное время могут оказаться в различных, удаленных друг от друга областях фазового пространства. В результате получается, что, хотя эволюция произвольной фазовой точки полностью детерминирована, для описания любой сколь угодно малой области в фазовом пространстве системы с перемешиванием, по существу, нужно использовать статистический подход. Для эргодических систем предельные значения (в смысле статистических средних) достигаются только в среднем по времени, а при наличии перемешивания они имеют место асимптотически на больших временах. Перемешивающие системы эргодичны, но не наоборот. Перемешивание – более сильное по сравнению с эргодичностью свойство, которое дает возможность определить понятие вероятности для индивидуальной фазовой траектории и понятие асимптотической статистической независимости событий. Статистическая взаимосвязь будущего состояния системы x(t) и настоящего x(t 0 ) при этом распространяется на конечные интервалы времени = t – t 0. Говорят о явлении расщепления корреляции, вследствие чего АКФ процесса экспоненциально затухает во времени. Спектр перемешивающих процессов – сплошной с шириной по частоте, обратно пропорциональной времени корреляции 0. Характерное время = 0 уменьшения АКФ в е = 2.713… раз отражает скорость процесса перемешивания. Величина, обратная 0, связана с метрической энтропией.

36 Энтропи́я (от греч. ντροπία поворот, превращение) в естественных науках мера беспорядка системы, состоящей из многих элементов. В частности, в статистической физике мера вероятности осуществления какого-либо макроскопического состояния; в теории информации мера неопределённости какого-либо опыта (испытания), который может иметь разные исходы, а значит и количество информации.греч.статистической физике теории информации Энтропия впервые введена Клаузиусом в термодинамике в 1865 году для определения меры необратимого рассеивания энергии, меры отклонения реального процесса от идеального.Клаузиусомтермодинамике Термодинамическая энтропияТермодинамическая энтропия функция состояния термодинамической системы.термодинамической системы Информационная энтропияИнформационная энтропия мера неопределённости источника сообщений, определяемая вероятностями появления тех или иных символов при их передаче. Энтропия динамической системыЭнтропия динамической системы в теории динамических систем мера хаотичности в поведении траекторий системы. Энтропия отражения часть информации о дискретной системе, которая не воспроизводится при отражении системы через совокупность своих частей. Энтропия в теории управления мера неопределённости состояния или поведения системы в данных условиях.теории управления Энтропия функция состояния системы, равная в равновесном процессе количеству теплоты сообщённой системе или отведённой от системы, отнесённому к термодинамической температуре системы.равновесном процессе Энтропия связь между макро- и микро- состояниями, единственная функция в физике, которая показывает направленность процессов. Функция состояния системы, которая не зависит от перехода из одного состояния в другое, а зависит только от начального и конечного положения системы.

37 Фундаментальное понятие метрической энтропии преобразования с сохраняющейся вероятностной мерой введено А.Н. Колмогоровым в 1958 г. Благодаря понятию энтропии Колмогорова удалось строго сформулировать абсолютный критерий хаотичности динамической системы как неустойчивого по Ляпунову движения с положительной метрической энтропией. Введение в рассмотрение метрической энтропии обобщает шенноновские представления на случай ДС. Если имеется множество M = m n различных комбинаций из m символов по n, на котором определена вероятностная мера, то степень неопределенности, характеризующая среднее количество информации на один символ в отсутствие шумов, дается энтропией Шеннона (24) где P j – вероятность j-й последовательности в n символов из алфавита m. Эта неопределенность (и информация) будет нулевой в случае, когда одна из последовательностей характеризуется единичной вероятностью, а все оставшиеся – нулевой. Неопределенность отлична от нуля только тогда, когда задано любое другое распределение вероятностей, и максимальна при равновероятных исходах события.

38 Существенным различием между хаотическим и периодическим движениями системы является то, что хаотическая траектория непрерывно производит энтропию, чего не может быть в случае периодичности. Докажем это простыми рассуждениями. Произведем разбиение фазового пространства G, включающего в себя аттрактор, на m элементарных непересекающихся ячеек G j ( j = 1,2,…, m). Проделаем серию измерений, следя за траекторией x(t) и через равные промежутки времени t отмечая n последовательных ячеек G j, в которой побывала траектория. При каждом независимом испытании получим конкретную n-членную реализацию в виде последовательности G j (n, t). Предположим, что нам известна нормированная на единицу вероятностная мера P(G j ) на множестве возможных последовательностей G j (n, t). Неопределенность (или энтропия), определяющая среднее количество информации на одну реализацию, в данном эксперименте будет (25) Величина H n зависит от числа элементов n в последовательности, от интервала времени t регистрации положения точки в фазовом пространстве и от способов разбиения фазового пространства на элементы G j. Введем нормированную характеристику – энтропию на один элемент процесса в единицу времени – как предел: (26)

39 Для стационарных эргодических процессов этот предел существует и конечен. Величина H есть средняя скорость производства энтропии на один элемент процесса. Однако остается зависимость H от способа разбиения фазового пространства на элементы. Выберем такое разбиение, при котором H максимальна, и получим метрическую энтропию динамической системы: (27) Если траектория регулярная, то при измерениях найдется такое n = n 0, что для любых измерений последовательность G j (n 0 ) идентична, т.е. имеет вероятность, равную единице. Метрическая энтропия в таком случае равна нулю. Для хаотической последовательности, когда каждые отдельно взятые отрезки реализаций отличаются друг от друга для любых сколь угодно больших n, энтропия всегда положительна, что служит строгим критерием хаотичности системы. Положительность энтропии характеризует качественную сторону вопроса, а ее числовое значение является количественной характеристикой степени хаотичности системы. Для истинно случайных процессов энтропия неограниченно велика, для регулярных равна 0. Энтропия системы в режиме странного аттрактора положительна, но имеет конечное значение. Доказано, что энтропия положительна в том и только в том случае, когда фазовая траектория в среднем экспоненциально неустойчива на аттракторе. Энтропия равна сумме положительных показателей спектра ЛХП: (28)

Теория хаоса

У этого термина существуют и другие значения, см. Теория хаоса (значения).

Для улучшения этой статьи по математике желательно:

  • Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.
  • Проверить достоверность указанной в статье информации.
  • Викифицировать статью.
  • Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Бифуркационная диаграмма для логистического отображения x → rx(1 — x). Каждый вертикальный сектор показывает аттрактор при соответствующем значении r. На диаграмме видно серию удвоениий периода при увеличении r. После некоторого значения r аттрактор становится хаотическим.

Тео́рия ха́оса — математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных при определённых условиях явлению, известному как хаос (динамический хаос, детерминированный хаос). Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной. Для акцентирования особого характера изучаемого в рамках этой теории явления обычно принято использовать название теория динамического хаоса.

Примерами подобных систем являются атмосфера, турбулентные потоки, некоторые виды аритмий сердца, биологические популяции, общество как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические, психологические (культурно-исторические и интер-культуральные) и другие социальные системы. Их изучение, наряду с аналитическим исследованием имеющихся рекуррентных соотношений, обычно сопровождается математическим моделированием.

Теория хаоса — область исследований, связывающая математику и физику.

Понятие хаоса

Основная статья: Динамический хаос

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 21 марта 2018 года.

Пример чувствительности системы к первоначальным условиям, где x → 4x(1 — x) и y → x + y, если x + y < 1 (иначе x + y — 1). Здесь чётко видно, что ряды значений x и y через какое-то время заметно отклоняются друг от друга, хотя в первоначальных состояниях отличия микроскопические

В бытовом контексте слово «хаос» означает «быть в состоянии беспорядка». В теории хаоса прилагательное хаотический определено более точно. Хотя общепринятого универсального математического определения хаоса нет, обычно используемое определение говорит, что динамическая система, которая классифицируется как хаотическая, должна иметь следующие свойства:

  1. Она должна быть чувствительна к начальным условиям.
  2. Она должна иметь свойство топологического смешивания.
  3. Её периодические орбиты должны быть всюду плотными.

Более точные математические условия возникновения хаоса выглядят так:

Система должна иметь нелинейные характеристики, быть глобально устойчивой, но иметь хотя бы одну неустойчивую точку равновесия колебательного типа, при этом размерность системы должна быть не менее 1,5.

Линейные системы никогда не бывают хаотическими. Для того, чтобы динамическая система была хаотической, она должна быть нелинейной. По теореме Пуанкаре — Бендиксона, непрерывная динамическая система на плоскости не может быть хаотической. Среди непрерывных систем хаотическое поведение имеют только неплоские пространственные системы (обязательно наличие не менее трёх измерений или неевклидова геометрия). Однако дискретная динамическая система на какой-то стадии может проявить хаотическое поведение даже в одномерном или двумерном пространстве.

Чувствительность к начальным условиям

Чувствительность к начальным условиям в такой системе означает, что все точки, первоначально близкие между собой, в будущем имеют значительно отличающиеся траектории. См. Устойчивость динамических систем.

Таким образом, произвольно небольшое изменение текущей траектории может привести к значительному изменению в её будущем поведении. Доказано, что последние два свойства фактически подразумевают чувствительность к первоначальным условиям (альтернативное, более слабое определение хаоса использует только первые два свойства из вышеупомянутого списка).

Чувствительность к начальным условиям более известна как «эффект бабочки». Термин возник в связи со статьёй «Предсказание: Взмах крыльев бабочки в Бразилии вызовет торнадо в штате Техас», которую Эдвард Лоренц в 1972 году вручил американской «Ассоциации для продвижения науки» в Вашингтоне. Взмах крыльев бабочки символизирует мелкие изменения в первоначальном состоянии системы, которые вызывают цепочку событий, ведущих к крупномасштабным изменениям. Если бы бабочка не хлопала крыльями, то траектория системы была бы совсем другой, что в принципе доказывает определённую линейность системы. Но мелкие изменения в первоначальном состоянии системы могут и не вызывать цепочку событий.

Топологическое смешивание

Топологическое смешивание в динамике хаоса означает такую схему расширения системы, что одна её область в какой-то стадии расширения накладывается на любую другую область. Математическое понятие «смешивание» как пример хаотической системы соответствует смешиванию разноцветных красок или жидкостей.

Тонкости определения

Пример топологического смешивания, где x → 4x(1 — x) и y → x + y, если x + y < 1 (иначе x + y — 1). Здесь синий регион в процессе развития был преобразован сначала в фиолетовый, потом в розовый и красный регионы и в конечном итоге выглядит как облако точек, разбросанных поперёк пространства

В популярных работах чувствительность к первоначальным условиям часто путается с самим хаосом. Грань очень тонкая, поскольку зависит от выбора показателей измерения и определения расстояний в конкретной стадии системы. Например, рассмотрим простую динамическую систему, которая неоднократно удваивает первоначальные значения. Такая система имеет чувствительную зависимость от первоначальных условий везде, так как любые две соседние точки в первоначальной стадии впоследствии будут на значительном расстоянии друг от друга. Однако её поведение тривиально, поскольку все точки кроме нуля имеют тенденцию к бесконечности, и это не топологическое смешивание. В определении хаоса внимание обычно ограничивается только закрытыми системами, в которых расширение и чувствительность к первоначальным условиям объединяются со смешиванием.

Даже для закрытых систем чувствительность к первоначальным условиям не идентична с хаосом в смысле изложенном выше. Например, рассмотрим тор, заданный парой углов (x, y) со значениями от 0 до 2π. Отображение любой точки (x, y) определяется как (2x, y + a), где значение a/2π является иррациональным. Удвоение первой координаты в отображении указывает на чувствительность к первоначальным условиям. Однако, из-за иррационального изменения во второй координате, нет никаких периодических орбит — следовательно отображение не является хаотическим согласно вышеупомянутому определению.

Аттракторы

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 21 марта 2018 года.

График аттрактора Лоренца для значений r = 28, σ = 10, b = 8/3

Аттра́ктор (от англ. attract — привлекать, притягивать) — множество состояний (точнее — точек фазового пространства) динамической системы, к которому она стремится с течением времени. Наиболее простыми вариантами аттрактора являются притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о маятнике с трением) и периодическая траектория (пример — самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), однако бывают и значительно более сложные примеры.

Некоторые динамические системы являются хаотическими всегда, но в большинстве случаев хаотическое поведение наблюдается только в тех случаях, когда параметры динамической системы принадлежат к некоторому специальному подпространству.

Наиболее интересны случаи хаотического поведения, когда большой набор первоначальных условий приводит к изменению на орбитах аттрактора. Простой способ продемонстрировать хаотический аттрактор — это начать с точки в районе притяжения аттрактора и затем составить график его последующей орбиты. Из-за состояния топологической транзитивности это похоже на отображения картины полного конечного аттрактора.

Например, в системе, описывающей маятник, пространство двумерное и состоит из данных о положении и скорости. Можно составить график положений маятника и его скорости. Положение маятника в покое будет точкой, а один период колебаний будет выглядеть на графике как простая замкнутая кривая. График в форме замкнутой кривой называют орбитой. Маятник имеет бесконечное количество таких орбит, формируя по виду совокупность вложенных эллипсов.

Странные аттракторы

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 21 марта 2018 года.

Аттрактор Лоренца как диаграмма хаотической системы. Эти два графика демонстрируют чувствительную зависимость от первоначальных условий в пределах занятого аттрактором региона

Большинство типов движения описывается простыми аттракторами, являющимися ограниченными циклами. Хаотическое движение описывается странными аттракторами, которые очень сложны и имеют много параметров. Например, простая трёхмерная система погоды описывается известным аттрактором Лоренца — одной из самых известных диаграмм хаотических систем, не только потому, что она была одной из первых, но и потому, что она одна из самых сложных. Другим таким аттрактором является аттрактор Рёсслера, которая имеет двойной период, подобно логистическому отображению.

Странные аттракторы появляются в обеих системах, и в непрерывных динамических (типа системы Лоренца) и в некоторых дискретных (например, отображение Эно). Некоторые дискретные динамические системы названы системами Жулиа по происхождению. И странные аттракторы, и системы Жулиа имеют типичную рекурсивную, фрактальную структуру.

Теорема Пуанкаре — Бендиксона доказывает, что странный аттрактор может возникнуть в непрерывной динамической системе, только если она имеет три или больше измерений. Однако это ограничение не работает для дискретных динамических систем. Дискретные двух- и даже одномерные системы могут иметь странные аттракторы. Движение трёх или большего количества тел, испытывающих гравитационное притяжение при некоторых начальных условиях может оказаться хаотическим движением.

Простые хаотические системы

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 21 марта 2018 года.

Хаотическими могут быть и простые системы без дифференциальных уравнений. Примером может быть логистическое отображение, которое описывает изменение количества населения с течением времени. Логистическое отображение является полиномиальным отображением второй степени и часто приводится в качестве типичного примера того, как хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных динамических уравнений. Ещё один пример — это модель Рикера, которая также описывает динамику населения.

Клеточный автомат — это набор клеток, образующих некоторую периодическую решётку с заданными правилами перехода. Клеточный автомат является дискретной динамической системой, поведение которой полностью определяется в терминах локальных зависимостей. Эволюция даже простых дискретных систем, таких как клеточные автоматы, может сильно зависеть от начальных условий. Эта тема подробно рассмотрена в работах Стивена Вольфрама.

Простую модель консервативного (обратимого) хаотического поведения демонстрирует так называемое отображение «кот Арнольда». В математике отображение «кот Арнольда» является моделью тора, которую он продемонстрировал в 1960 году с использованием образа кошки.

Показать хаос для соответствующих значений параметра может даже одномерное отображение, но для дифференциального уравнения требуется три или больше измерений. Теорема Пуанкаре — Бендиксона утверждает, что двумерное дифференциальное уравнение имеет очень стабильное поведение. Трёхмерные квадратичные системы только с тремя или четырьмя переменными не могут демонстрировать хаотическое поведение. Причина в том, что решения таких систем являются асимптотическими по отношению к двумерным плоскостям и поэтому представляют собой стабильные решения.

Цепь Чуа является одной из простейших электрических цепей, генерирующих хаотические колебания.

Хронология

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 21 марта 2018 года.

Фрактальный папоротник, созданный благодаря игре хаоса. Природные формы (папоротники, облака, горы и т. д.) могут быть воссозданы через систему повторяющихся функций

Первым исследователем хаоса был Анри Пуанкаре. В 1880-х годах, при изучении поведения системы с тремя телами, взаимодействующими гравитационно, он заметил, что могут существовать непериодические орбиты, которые постоянно и не удаляются, и не приближаются к конкретной точке. В 1898 году Жак Адамар издал влиятельную работу о хаотическом движении свободной частицы, скользящей без трения по поверхности постоянной отрицательной кривизны. В своей работе «бильярд Адамара» он доказал, что все траектории непостоянны и частицы в них отклоняются друг от друга с положительной экспонентой Ляпунова.

Почти вся более ранняя теория, под названием эргодическая теория, была разработана только математиками. Позже нелинейные дифференциальные уравнения изучали Биргхоф, A. Колмогоров, M. Каретник, Дж. Литлвуд и Стивен Смэйл. Кроме Смэйла, на изучение хаоса всех их вдохновила физика: поведение трёх тел в случае с Биргхофом, турбулентность и астрономические исследования в случае с Колмогоровым, радиотехника в случае с Каретником и Литлвудом. Хотя хаотическое планетарное движение не изучалось, экспериментаторы столкнулись с турбулентностью течения жидкости и непериодическими колебаниями в радиосхемах, не имея достаточной теории, чтобы это объяснить.

Несмотря на попытки понять хаос в первой половине 20 века, теория хаоса как таковая начала формироваться только с середины столетия. Тогда для некоторых учёных стало очевидно, что преобладающая в то время линейная теория просто не может объяснить некоторые наблюдаемые эксперименты подобно логистическому отображению. Чтобы заранее исключить неточности при изучении, простые «помехи» в теории хаоса считали полноценной составляющей изучаемой системы.

Основным катализатором для развития теории хаоса стала электронно-вычислительная машина. Большая часть математики в теории хаоса выполняет повторную итерацию простых математических формул, которые делать вручную весьма трудоёмко. Электронно-вычислительные машины делали такие повторные вычисления достаточно быстро, тогда как рисунки и изображения позволяли визуализировать эти системы.

Одним из пионеров в теории хаоса был Эдвард Лоренц, интерес которого к хаосу появился случайно, когда он работал над предсказанием погоды в 1961 году. Погодное моделирование Лоренц выполнял на простом цифровом компьютере McBee LGP-30. Когда он захотел увидеть всю последовательность данных, то, чтобы сэкономить время, он запустил моделирование с середины процесса, введя данные с распечатки, которые он вычислил в прошлый раз. К его удивлению погода, которую машина начала предсказывать, полностью отличалась от погоды, рассчитанной прежде. Лоренц обратился к компьютерной распечатке. Компьютер работал с точностью до 6 цифр, но распечатка округлила переменные до 3 цифр, например значение 0,506127 было напечатано как 0,506. Это несущественное отличие не должно было иметь фактически никакого эффекта. Однако Лоренц обнаружил, что малейшие изменения в первоначальных условиях вызывают большие изменения в результате. Открытию дали имя Лоренца и оно доказало, что метеорология не может точно предсказать погоду на период более недели.

Годом ранее, Бенуа Мандельброт нашёл повторяющиеся образцы в каждой группе данных о ценах на хлопок. Он изучал теорию информации и заключил, что структура помех подобна набору Регента: в любом масштабе пропорция периодов с помехами к периодам без них была постоянной — значит ошибки неизбежны и должны быть запланированы. Мандельброт описал два явления: «эффект Ноя», который возникает, когда происходят внезапные прерывистые изменения, например, изменение цен после плохих новостей, и «эффект Иосифа» в котором значения постоянны некоторое время, но всё же внезапно изменяются впоследствии. В 1967 году он издал работу «Какой длины побережье Великобритании? Статистические данные подобностей и различий в измерениях», доказывая, что данные о длине береговой линии изменяются в зависимости от масштаба измерительного прибора. Он утверждал, что клубок бечёвки кажется точкой, если его рассматривать издалека (0-мерное пространство), он же будет клубком или шаром, если его рассматривать достаточно близко (3-мерное пространство) или может выглядеть замкнутой кривой линией сверху (1-мерное пространство). Он доказал, что данные измерения объекта всегда относительны и зависят от точки наблюдения.

Объект, изображения которого являются постоянными в различных масштабах («самоподобие») является фракталом (например кривая Коха, или «снежинка»). В 1975 году Мандельброт опубликовал работу «Фрактальная геометрия природы», которая стала классической теорией хаоса. Некоторые биологические системы, такие как система кровообращения и бронхиальная система, подходят под описание фрактальной модели.

Турбулентные потоки воздуха от крыла самолета, образующиеся во время его посадки. Изучение критической точки, после которой система создает турбулентность, были важны для развития теории хаоса. Например, советский физик Лев Ландау разработал теорию турбулентности Ландау — Хопфа. Позже Дэвид Руелл и Флорис Тейкнс предсказали, вопреки Ландау, что турбулентность в жидкости могла развиться через странный аттрактор, то есть основную концепцию теории хаоса

Явления хаоса наблюдали многие экспериментаторы ещё до того, как его начали исследовать. Например, в 1927 году Ван дер Поль, а в 1958 году П. Ивес. 27 ноября 1961 года Й. Уэда, будучи аспирантом в лаборатории Киотского университета, заметил некую закономерность и назвал её «случайные явления превращений», когда экспериментировал с аналоговыми вычислительными машинами. Тем не менее, его руководитель не согласился тогда с его выводами и не позволил ему представить свои выводы общественности до 1970 года.

В декабре 1977 года Нью-Йоркская академия наук организовала первый симпозиум о теории хаоса, который посетили Дэвид Руелл, Роберт Мей, Джеймс А. Иорк, Роберт Шоу, Й. Даян Фермер, Норман Пакард и метеоролог Эдвард Лоренц.

В следующем году Митчелл Фейгенбаум издал статью «Количественная универсальность для нелинейных преобразований», где он описал логистические отображения. М. Фейгенбаум применил рекурсивную геометрию к изучению естественных форм, таких как береговые линии. Особенность его работы в том, что он установил универсальность в хаосе и применял теорию хаоса ко многим явлениям.

В 1979 году Альберт Дж. Либчейбр на симпозиуме в Осине представил свои экспериментальные наблюдения каскада раздвоения, который ведёт к хаосу. Его наградили премией Вольфа в физике совместно с Митчеллом Дж. Фейгенбаумом в 1986 году «за блестящую экспериментальную демонстрацию переходов к хаосу в динамических системах».

Тогда же в 1986 году Нью-Йоркская Академия Наук вместе с национальным Институтом Мозга и центром Военно-морских исследований организовали первую важную конференцию по хаосу в биологии и медицине. Там Бернардо Уберман продемонстрировал математическую модель глаза и нарушений его подвижности среди шизофреников. Это привело к широкому применению теории хаоса в физиологии в 1980-х годах, например, в изучении патологии сердечных циклов.

В 1987 году Пер Бак, Чао Тан и Курт Висенфелд напечатали статью в газете, где впервые описали систему самодостаточности (СС), которая является одним из природных механизмов. Многие исследования тогда были сконцентрированы вокруг крупномасштабных естественных или социальных систем. CC стала сильным претендентом на объяснение множества естественных явлений, включая землетрясения, солнечные всплески, колебания в экономических системах, формирование ландшафта, лесные пожары, оползни, эпидемии и биологическую эволюцию.

Учитывая нестабильное и безмасштабное распределение случаев возникновения, не странно, что некоторые исследователи предложили рассмотреть как пример CC возникновение войн. Эти «прикладные» исследования включали в себя две попытки моделирования: разработка новых моделей и приспособление существующих к данной естественной системе.

В том же году Джеймс Глеик издал работу «Хаос: создание новой науки», которая стала бестселлером и представила широкой публике общие принципы теории хаоса и её хронологию. Теория хаоса прогрессивно развивалась как межпредметная и университетская дисциплина, главным образом под названием «анализ нелинейных систем». Опираясь на концепцию Томаса Куна о смене парадигм, много «учёных-хаотиков» (так они сами назвали себя) утверждали, что эта новая теория и есть пример сдвига.

Доступность более дешёвых, более мощных компьютеров расширяет возможности применения теории хаоса. В настоящее время теория хаоса продолжает быть очень активной областью исследований, вовлекая много разных дисциплин (математика, топология, физика, биология, метеорология, астрофизика, теория информации, и т. д.).

Применение

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 21 марта 2018 года.

Теория хаоса применяется во многих научных дисциплинах: математика, биология, информатика, экономика, инженерия, финансы, философия, физика, политика, психология и робототехника.

В лаборатории хаотическое поведение можно наблюдать в разных системах, например, электрические схемы, лазеры, химические реакции, динамика жидкостей и магнитно-механических устройств. В природе хаотическое поведение наблюдается в движении спутников солнечной системы, эволюции магнитного поля астрономических тел, приросте населения в экологии, динамике потенциалов в нейронах и молекулярных колебаниях. Есть существенные основания полагать о существовании динамики хаоса в тектонике плит и в экономике.

Одно из самых успешных применений теории хаоса было в экологии, когда динамические системы, похожие на модель Рикера, использовались, чтобы показать зависимость прироста населения от его плотности.

В настоящее время теория хаоса также применяется в медицине при изучении эпилепсии для предсказаний приступов, учитывая первоначальное состояние организма.

Похожая область физики, названная квантовой теорией хаоса, исследует связь между хаосом и квантовой механикой. Недавно появилась новая область, названная хаосом относительности, чтобы описать системы, которые развиваются по законам общей теории относительности.

Различия между случайными и хаотическими данными

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 21 марта 2018 года.

Стиль этого раздела неэнциклопедичен или нарушает нормы русского языка. Следует исправить раздел согласно стилистическим правилам Википедии.

Только по исходным данным трудно сказать, каким является наблюдаемый процесс — случайным или хаотическим, потому что практически не существует явного чистого «сигнала» отличия. Всегда будут некоторые помехи, даже если их округлять или не учитывать. Это значит, что любая система, даже если она детерминированная, будет содержать немного случайностей.

Чтобы отличить детерминированный процесс от стохастического, нужно знать, что детерминированная система всегда развивается по одному и тому же пути от данной отправной точки. Таким образом, чтобы проверить процесс на детерминизм необходимо:

  1. Выбрать тестируемое состояние.
  2. Найти несколько подобных или почти подобных состояний.
  3. Сравнить их развитие во времени.

Погрешность определяется как различие между изменениями в тестируемом и подобном состояниях. Детерминированная система будет иметь очень маленькую погрешность (устойчивый, постоянный результат), или она будет увеличиваться по экспоненте со временем (хаос). Стохастическая система будет иметь беспорядочно распределённую погрешность.

По существу все методы определения детерминизма основываются на обнаружении состояний, самых близких к данному тестируемому (то есть, измерению корреляции, экспоненты Ляпунова, и т. д.). Чтобы определить состояние системы, обычно полагаются на пространственные методы определения стадии развития. Исследователь выбирает диапазон измерения и исследует развитие погрешности между двумя близлежащими состояниями. Если она выглядит случайной, тогда нужно увеличить диапазон, чтобы получить детерминированную погрешность. Кажется, что это сделать просто, но на деле это не так. Во-первых, сложность состоит в том, что, при увеличении диапазона измерения поиск близлежащего состояния требует намного большего количества времени для вычислений, чтобы найти подходящего претендента. Если диапазон измерения выбран слишком маленьким, то детерминированные данные могут выглядеть случайными, но если диапазон слишком большой, то этого не случится — метод будет работать.

Когда в нелинейную детерминированную систему вмешиваются внешние помехи, её траектория постоянно искажается. Более того, действия помех усиливаются из-за нелинейности, и система показывает полностью новые динамические свойства. Статистические испытания, пытающиеся отделить помехи от детерминированной основы или изолировать их, потерпели неудачу. При наличии взаимодействия между нелинейными детерминированными компонентами и помехами появляется динамика, которую традиционные испытания на нелинейность иногда не способны фиксировать.

> Примечания

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *